принцип неопределённости, фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты её центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определённые, точные значения. Количественная формулировка Н. с.: если Δx - неопределённость значения координаты х, а (p_x - неопределённость проекции импульса на ось х, то произведение этих неопределённостей должно быть по порядку величины не меньше постоянной Планка ħ. Аналогичные неравенства должны выполняться для любой пары так называемых канонически сопряжённых переменных, например для координаты у и проекции импульса р_у на ось у, координаты z и проекции импульса p_z. Если под неопределённостями координаты и импульса понимать среднеквадратичные отклонения этих физических величин от их средних значений, то Н. с. имеют вид:

Ввиду малости ħ по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности действия (См. Действие) Н. с. существенны в основном для явлений атомных (и меньших) масштабов и не проявляются при взаимодействиях макроскопических тел.

Из Н. с. следует, что чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем менее определённым является значение другой. Никакой эксперимент не может привести к одновременно точному измерению таких динамических переменных; при этом неопределённость в измерениях связана не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными свойствами материи.

Принцип неопределённости, открытый в 1927 В. Гейзенбергом, явился важным этапом в уяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики (См. Квантовая механика). Существенной чертой микроскопических объектов является их корпускулярно-волновая природа (см. Корпускулярно-волновой дуализм). Состояние частицы полностью определяется волновой функцией (См. Волновая функция). Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экспериментов по определению, например, координаты, имеют вероятностный характер. Это означает, что при проведении серии одинаковых опытов над одинаковыми системами получаются каждый раз, вообще говоря, разные значения. Однако некоторые значения будут более вероятными, чем другие, т. е. будут появляться чаще. Относительная частота появления тех или иных значений координаты пропорциональна квадрату модуля волновой функции в соответствующих точках пространства. Поэтому чаще всего будут получаться те значения координаты, которые лежат вблизи максимума волновой функции. Если максимум выражен четко (волновая функция представляет собой узкий Волновой пакет), то частица "в основном" находится около этого максимума. Тем не менее, некоторый разброс в значениях координаты, некоторая их неопределённость (порядка полуширины максимума) неизбежны. Тот же вывод относится и к измерению импульса.

Т. о., понятия координаты и импульса в классическом смысле не могут быть применены к микроскопическим объектам. Пользуясь этими величинами при описании микроскопической системы, необходимо внести в их интерпретацию квантовые поправки. Такой поправкой и является Н. с.

Несколько иной смысл имеет Н. с. для энергии Е и времени t,

Если система находится в стационарном состоянии (т. е. в состоянии, которое при отсутствии внешних сил не изменяется), то из Н. с. следует, что энергию системы в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей

где Δt - длительность процесса измерения. Причина этого - во взаимодействии системы с измерительным прибором, и Н. с. применительно к данному случаю означает, что энергию взаимодействия между измерительным прибором и исследуемой системой можно учесть лишь с точностью до

(в предельном случае мгновенного измерения возникающий энергетический обмен становится полностью неопределённым). Соотношение

справедливо также, если под ΔЕ понимать неопределённость значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под Δt - характерное время, в течение которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе.

Н. с. для энергии и времени приводит к важным выводам относительно возбуждённых состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и из Н. с. вытекает, что энергии возбуждённых уровней не могут быть строго определёнными, т. е. обладают некоторой шириной (так называемая естественная Ширина уровня). Если Δt - среднее время жизни возбуждённого состояния, то ширина его энергетического уровня (неопределённость энергии состояния) составляет

Др. примером служит Альфа-распад радиоактивного ядра: энергетический разброс ΔЕ испускаемых α-частиц, связан с временем жизни τ такого ядра соотношением

Лит.: Гейзенберг В., Шредингер Э., Дирак ГГ., Современная квантовая механика, пер. с англ., М. - Л., 1934; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 3 изд.. М., 1961; Мандельштам Л. И., Тамм И. Е., Соотношение неопределенности энергия - время в нерелятивистской квантовой механике, в кн.: Мандельштам Л. И., Полн. собр. трудов, т. 2, М. - Л., 1947, с. 306; Крылов Н. С., Фок В. А., О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени, "Журнал экспериментальной и теоретической физики", 1947, т. 17, в. 2, с. 93.

О. И. Завьялов.

формула приведения, формула, сводящая вычисление n-го члена какой-либо последовательности (чаще всего числовой) к вычислению нескольких предыдущих её членов. Обычно эти члены находятся в рассматриваемой последовательности "недалеко" от её n-го члена, число их от n не зависит, а n-й член выражается через них достаточно просто. Однако возможны Р. ф. и более сложной структуры. Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций (См. Рекурсивные функции).

Примеры. 1) Последовательность φ_n - т. н. чисел Фибоначчи - задаётся формулами:

φ₀ = 0, φ₁ = 1, φ_n+2 = φ_n+1 + φ_n (n > 0)

Последняя из них является Р. ф.; она позволяет вычислить φ₂, φ₃ и дальнейшие члены этой последовательности.

2) Пусть

Нетрудно показать, что для n ≥ 2 выполняется соотношение

.

Это - Р. ф., сводящая вычисление I_n к вычислению /₀ или l₁ в зависимости от чётности n.

Р. ф. обычно даёт удобную вычислительную схему для нахождения членов последовательности друг за другом. Однако иногда, исходя из Р. ф., стремятся получить "явное" выражение для n-го члена последовательности, описываемой этой Р. ф. Так, в случае чисел Фибоначчи

.